Als er auf dem zweiten Bildungsweg, (er war zuvor Bankkaufmann) Theologie in Würzburg studierte wurde er bei KDStV Franco-Raetia im CV aktiv. Sein Studium führte Clemens nach Innsbruck, wo er 1983 das Band unserer lb. Leopoldina aufnahm. 1987 weihte ihn Bischof Scheele zum Priester. Nach 25 Jahren im Pfarrdienst – zuletzt 18 Jahre in Kleinostheim bei Aschaffenburg – folgte eine neue verantwortungsvolle Aufgabe in der Diözese: Mit der Ernennung zum Leiter der Hauptabteilung für soziale und caritative Dienste im Bischöflichen Ordinariat übernahm Clemens Bieber 2010 auch den Vorsitz des Caritasverbandes für die Diözese Würzburg. Im selben Jahr wurde der Geistliche in das Domkapitel an der Kathedralkirche zu Würzburg berufen und zum Domkapitular ernannt. Der Unterfranke wurde 2012 zum Vorsitzenden des Bundesverbandes Katholischer Tageseinrichtungen für Kinder mit rund 10.000 katholischen Kindergärten in Deutschland gewählt. Während seiner Studienzeit nahm auch eine Freundschaft mit dem früheren Bischof Bbr. Reinhold Stecher v/o Dr. cer Laurin ihren Anfang. Dessen Nachfolger, dem emeritierten Erzbischof Cbr. Alois Kothgasser, fühlt sich Clemens Bieber als früherer Schüler des Gymnasiums der Salesianer in Buxheim bei Memmingen verbunden. Auch mit Cbr. Bischof Manfred Scheuer steht er in regelmäßigem Kontakt.

Der Tiroler Adler Orden wurde vom Tiroler Landtag im Jahr 1970 geschaffen. Die Auszeichnung würdigt jene Persönlichkeiten, deren Aufenthalt oder Besuch in Tirol oder deren freundschaftliche Beziehung zum Land von politischer, wirtschaftlicher oder kultureller Bedeutung ist. Die Verleihung der Tiroler Adler Orden findet immer am 25. Oktober im Rahmen des Festprogramms am Vorabend des Nationalfeiertags statt.